교집합 최대값, 최소값

2024. 11. 15. 10:27수학/집합

문제를 풀이하기 위해 주어진 조건을 정리해 보겠습니다.

  1. 전체 학생 수: 200명
  2. 과학관을 희망하는 학생 수가 박물관을 희망하는 학생 수보다 30명 많음.
  3. 어느 장소도 희망하지 않는 학생 수는 하나 이상의 장소를 희망하는 학생 수보다 160명 적음.

이를 수식으로 풀어보겠습니다.

풀이 과정

변수 설정

  • x: 과학관만을 희망하는 학생 수
  • y: 박물관만을 희망하는 학생 수
  • z: 두 장소 모두를 희망하는 학생 수
  • 어느 곳도 희망하지 않는 학생 수를 N이라 하면, 전체 학생 수에 대한 식은 다음과 같습니다.

                              공식1: x+y+z+N=200

조건 정리

  • 과학관을 희망하는 학생은 박물관을 희망하는 학생보다 30명 많습니다.
    • 과학관을 희망하는 학생 수는 x+z, 박물관을 희망하는 학생 수는 y+z이므로,
      x+z=y+z+30
      이를 정리하면, x-y=입니다.
      공식2: y=x-30
  • 하나 이상의 장소를 희망하는 학생이 160명 많습니다.
    • 즉, N=(x+y+z)−160입니다.
      공식3: N=(x+y+z)−160

공식3에 공식1을 대입하면,
N=(200-N)-160
N=20
N값을 공식1에 적용하면, x+y+z=180이되고, 여기에 공식2를 적용하면 
x+(x-30)+z=180
    2x-30+z=180
             2x=210-z
               x=105-(z/2)

z는 x와 y의 교집합이기 때문에 최소값은 0이다.
z>=0
z가 커질수록 x가 작아지기 때문에 z=0일때 x가 최대값이 되며, 그값은 105이다   

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