교집합 최대값, 최소값
2024. 11. 15. 10:27ㆍ수학/집합
문제를 풀이하기 위해 주어진 조건을 정리해 보겠습니다.
- 전체 학생 수: 200명
- 과학관을 희망하는 학생 수가 박물관을 희망하는 학생 수보다 30명 많음.
- 어느 장소도 희망하지 않는 학생 수는 하나 이상의 장소를 희망하는 학생 수보다 160명 적음.
이를 수식으로 풀어보겠습니다.
풀이 과정
변수 설정
- x: 과학관만을 희망하는 학생 수
- y: 박물관만을 희망하는 학생 수
- z: 두 장소 모두를 희망하는 학생 수
- 어느 곳도 희망하지 않는 학생 수를 N이라 하면, 전체 학생 수에 대한 식은 다음과 같습니다.
공식1: x+y+z+N=200
조건 정리
- 과학관을 희망하는 학생은 박물관을 희망하는 학생보다 30명 많습니다.
- 과학관을 희망하는 학생 수는 x+z, 박물관을 희망하는 학생 수는 y+z이므로,
x+z=y+z+30
이를 정리하면, x-y=입니다.
공식2: y=x-30
- 과학관을 희망하는 학생 수는 x+z, 박물관을 희망하는 학생 수는 y+z이므로,
- 하나 이상의 장소를 희망하는 학생이 160명 많습니다.
- 즉, N=(x+y+z)−160입니다.
공식3: N=(x+y+z)−160
- 즉, N=(x+y+z)−160입니다.
공식3에 공식1을 대입하면,
N=(200-N)-160
N=20
N값을 공식1에 적용하면, x+y+z=180이되고, 여기에 공식2를 적용하면
x+(x-30)+z=180
2x-30+z=180
2x=210-z
x=105-(z/2)
z는 x와 y의 교집합이기 때문에 최소값은 0이다.
z>=0
z가 커질수록 x가 작아지기 때문에 z=0일때 x가 최대값이 되며, 그값은 105이다
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